ELEMENTI FINITI AVANZATI PER L'ANALISI A GRANDI SPOSTAMENTI (E GRANDI DEFORMAZIONI) DI MATERIALI E STRUTTURE

In this thesis I discuss the implementation of advanced finite elements for large deflection and large strain analysis by Unified Formulation. Models for high flexible and deformable components are recently spread due to renewed interests in biological applications, complex systems modelling, fluid-structure interaction problems and innovative materials capable of carrying high loads without failure after instabilities occur. Accurate prediction of displacements and rotation, as well as stresses distribution in the medium/large displacement regime, is a challenging topic in solid mechanics and numerical analysis due to some already known mathematical limitations amplified by the presence of nonlinear terms in the governing equations. The first part is devoted to the mathematical description of continuum mechanics governing equation for linear elastic and hyperelastic materials. Derivation of the large displacement formulation and stress tensors both in case of Hooke's law and strain energy functions is described. Strain and stress measures are here presented. First-invariant hyperleasticity is here presented, deriving the constitutive law in terms of invariants of right Cauchy-Green tensor. The second part is devoted to the description of numerical methods involved in nonlinear analysis: refined fully-nonlinear finite elements for beam, plate and solid structures under Unified Formulation are analyzed. Carrera Unified Formulation is adopted in the implementation of finite elements: the primary unknown variables are discretized by kinematic models and arbitrary expansion cross-section function or thickness function coupled with the classical Finite Element Approximation. The nonlinear governing equation is exploited by means of principle of virtual displacements, considering the full Green-Lagrange tensor for finite deformations and expressed in terms of stiffness matrices. In the case of hyperelastic beam and solid models, strain energy function are presented derivations of the tangent stiffness matrix, internal forces vector and tangent elasticity tensor components are carried out. A linearized Newton-Raphson scheme is adopted, combined by a path-following method based on the arc-length method, an adaptive parametrization incremental-iterative scheme that postulates simultaneous variations of primary displacements variables with load variations. The last part is devoted to the discussion and validation of numerical results obtained by the present implementation: large deflection and post-buckling analysis of beam and plates structures obtained by 1D and 2D models are presented. Popular benchmark problems in geometrically non-linear solid mechanics are also analyzed to establish the capabilities of present implementation of fully-nonlinear solid elements in case of post-buckling analysis of beams, plates and curved structures, considering both classical isotropic and hyperelastic materials, obtaining accurate results. The present work is the first step in understanding complex structural problem also involving geometrical non-linearities. However, in this context, several aspects require further research efforts. Possible future works include large strain analysis, hyperelasticity, fracture mechanics, nonlinear vibrations, fluid-structure interaction applications.

Nel seguente elaborato di tesi, si discute l’implementazione di elementi finiti avanzati per l’analisi a grandi spostamenti e deformazioni sotto Formulazione Unificata. Modelli per strutture flessibili ed estremamente deformabili sono oggi richiesti, per via rinnovati interessi in simulazione di problemi di natura biologica, modellazione di sistemi complessi, problemi di interazione fluido-struttura e nuovi materiali innovativi che permettono la progettazione di strutture in grado di operare in condizioni di carico critiche. Ottenere, attraverso simulazioni numeriche, previsioni accurate del campo degli spostamenti e delle rotazioni, così come lo stato di tensione all’interno del materiale, risulta essere più che impegnativo, a causa di limitazioni matematiche dei modelli comunemente utilizzati che, nella analisi non-lineare di strutture meccaniche, vengono amplificate dalla presenza di particolari non-linearità all’interno delle equazioni di governo. La prima parte del seguente lavoro di tesi è dedicata alla descrizione matematica delle equazioni di governo della meccanica dei continui per materiali linearmente elastici e iperelastici. Si deriva la formulazione del problema strutturale nel regime dei grandi spostamenti, assieme alla definizione dei tensori delle tensioni adottati al variare della legge costitutiva scelta. Si definisce vari tensori delle tensioni e deformazioni, qui adottati. Infine, si presenta il modello “first-invariant” per materiali iperelastici, derivando la legge costitutiva in termini di invarianti del tensore destro di Cauchy-Green. La seconda parte del seguente lavoro di tesi è dedicata alla descrizione dei metodi numerici usati: si definiscono modelli non-lineari per travi, piastre/gusci e generiche strutture solide sotto la Formulazione Unificata. La Formulazione Unificata di Carrera è adottata nell'implementazione degli elementi finiti: le variabili incognite del problema vengono descritte attraverso modelli cinematici e arbitrarie espansioni polinomiali lungo la sezione trasversale o lo spessore della struttura, accoppiati alla classica Approssimazione agli Elementi Finiti. L'equazione di governo in forma debole viene derivata mediante il Principio degli Spostamenti Virtuali, ed espressa in termini di matrici di rigidezza. Nel caso del modello iperelastico per trave e solido, vengono presentate le espressioni delle funzioni di energia di deformazione, e si derivano matrice di rigidezza tangente, vettore delle forze interne e tensore di elasticità tangente. La soluzione numerica del risultante sistema algebrico non-lineare si ricava mediante schema Newton-Raphson linearizzato combinato con un algoritmo path-following basato sul metodo arc-lenght, uno schema incrementale-iterativo a parametrizzazione adattiva che suppone una variazione simultanea sia delle variabili di spostamenti sia variabili di carico. L'ultima parte è dedicata alla discussione e alla validazione dei risultati numerici ottenuti dalla presente implementazione degli elementi solidi non-lineari: vengono presentate le analisi a grandi spostamenti e di instabilità strutturali di travi e piastre ottenute con modelli 1D e 2D. Vengono inoltre analizzati classici problemi di riferimento presi da letteratura per stabilire potenzialità e limiti dell'attuale implementazione di elementi solidi nel caso di travi, piastre e strutture curve, ottenendo risultati accurati. Il presente lavoro è il primo passo da compiere per l’analisi di problemi strutturali complessi che coinvolgono anche le non linearità geometriche. Tuttavia, in questo contesto, diversi aspetti richiedono ulteriori sforzi di ricerca. Possibili lavori futuri includono l'analisi delle grandi deformazioni e la considerazione delle non linearità costitutive, modelli avanzati per l'iperelasticità, meccanica della frattura, vibrazioni non lineari, problemi di interazione fluido-struttura.