TEORIA DELLE PIASTRE: SOLUZIONI ANALITICHE E MODELLAZIONE AGLI ELEMENTI FINITI

This work regards the mechanical modeling of plates subjected to loads perpendicular to the middle plane. The first part of the work introduces the fundamental concepts of solid mechanics. Next, the differential equation of the elastic surface is obtained, together with the boundary conditions. This differential equation generally does not allow us to determine analytical solutions in a closed form. To overcome this problem two numerical methods were developed: the finite difference method (FDM), no longer used, and the finite element method (FEM), now widely adopted, which discretizes the geometric domain into many elementary subdomains. Both these methods approximate the original differential problem to an algebric one with a great number of unknowns. In particular, in the FEM we obtain relevant solutions for engineering use by dividing the original domain in a great number of subdomains and, consequently, introducing a great number of algebric unknown variables. Finally, some classical problems are solved. Numerical solutions are obtained by a standard finite element software widely used in structural design, and compared with analytical solutions.

In questo lavoro si affronta la modellazione meccanica di piastre sottoposte a carichi perpendicolari al piano intermedio. La prima parte del lavoro introduce i concetti fondamentali della meccanica solida. Successivamente, si ottiene l'equazione differenziale della superficie elastica, insieme alle condizioni al contorno. Questa equazione differenziale generalmente non ci consente di determinare soluzioni analitiche in forma chiusa. Per ovviare a questo problema sono stati sviluppati due metodi numerici: il metodo delle differenze finite (FDM), non più utilizzato, e il metodo degli elementi finiti (FEM), ora ampiamente adottato, che discretizza il dominio geometrico in tanti sottodomini elementari. Entrambi questi metodi avvicinano il problema differenziale originale a un problema algebrico con un elevato numero di incognite. In particolare, nella FEM otteniamo soluzioni rilevanti per l'uso ingegneristico dividendo il dominio originale in un gran numero di sottodomini e, di conseguenza, introducendo un gran numero di variabili algebriche sconosciute. Infine, vengono risolti alcuni problemi classici. Le soluzioni numeriche sono ottenute da un software standard ad elementi finiti ampiamente utilizzato nella progettazione strutturale e confrontate con soluzioni analitiche.