METODI ALLE DIFFERENZE FINITE PER L'EQUAZIONE DI DIFFUSIONE NONLINEARE

The treatment of evolution equations is a growing area of study and research due to their wide applicability. The heat equation, in particular, plays an important role in numerical calculation and has multiple scientific applications. However, many real systems exhibit nonlinear behavior, requiring more complex approaches for accurate modeling. This thesis focuses on finite difference methods for the nonlinear heat equation, with particular attention to the porous media equation as an example of nonlinearity. It starts by exploring the fundamental concepts of the linear case arriving at the analysis of the nonlinear counterpart. Among them: the Barenblatt solution, the discretization and stability of numerical methods, together with techniques such as ENO-WENO schemes. Finally, numerical simulations in the MATLAB environment are presented with the aim of visualizing the discretization of a given function as time progresses using an FTCS scheme, underlining similarities and differences between the linear and nonlinear cases. The goal is to contribute to the understanding and solution of nonlinear diffusion problems in scientific and technical practice by providing valid alternatives for their modeling such as Gaussian filters.

La trattazione delle equazioni di evoluzione è un'area di studio e ricerca in continua crescita a causa della loro vasta applicabilità. L'equazione del calore, in particolare, gioca un ruolo di rilievo nel calcolo numerico e trova molteplici applicazioni scientifiche. Tuttavia, molti sistemi reali presentano comportamenti nonlineari, richiedendo approcci più complessi per la modellazione accurata. Questa tesi si focalizza sui metodi alle differenze finite per l'equazione del calore nonlineare, con un'attenzione particolare all'equazione dei mezzi porosi come esempio di non linearità. Si parte esplorando i concetti fondamentali del caso lineare giungendo all'analisi della controparte nonlineare. Tra questi: la soluzione di Barenblatt, la discretizzazione e la stabilità dei metodi numerici, insieme a tecniche come gli schemi ENO-WENO. Infine, vengono presentate simulazioni numeriche in ambiente MATLAB con lo scopo di visualizzare la discretizzazione di una funzione data con l'avanzare del tempo mediante uno schema FTCS, sottolineando analogie e differenze tra caso lineare e nonlineare. L'obiettivo è contribuire alla comprensione e alla soluzione dei problemi diffusivi nonlineari nella pratica scientifica e tecnica, fornendo alternative valide per la loro modellazione come i filtri gaussiani.