APPLICAZIONE DI TECNICHE VARIAZIONALI ALLO STUDIO DI TRAVI SU FONDO ELASTICO

The present thesis collocates itself within the academic field of Mathematical Physics (Settore Scientifico Disciplinare MAT/07 in Italian). In developing the work contained in the manuscript, the focus is on structural beam-type elements interacting with an elastic substrate (also referred to as “elastic foundation” or “bed of springs” in engineering terminology), and a comprehensive study of their structural behaviour is proposed. In the first part of the thesis, a literature review outlines the concept of “beam on elastic foundation” or “beam on a bed of springs” and places it within the context of engineering applications in the field of Building Engineering, such as foundation beams. The thesis continues with the derivation of the Winkler mathematical model, which is the main topic of this work, by employing a class of variational methods that allow for the formulation of the model equations (indeterminate equilibrium equations) and associating, with each considered phenomenon, the proper static-kinematic duality correspondence (deformations/stresses, displacements/forces). The resulting equations are then solved analytically by varying appropriate boundary conditions (different constraints are defined at the ends of the considered continuum), and the results, in terms of deformations, forces, and stresses, as well as the (elastic) interaction between the beam and the substrate, are presented. This procedure is complemented by numerical simulations of the obtained models carried out using the finite element software Comsol Multiphysics. Finally, in the concluding part of the work, the key aspects of the thesis are highlighted, and attention is drawn to the results obtained, in light of their implications in engineering and structural contexts, both currently and potentially.

La presente prova finale si colloca all’interno del settore scientifico disciplinare (SSD) MAT/07 (Fisica Matematica). Nello sviluppare il lavoro di tesi contenuto nel prosieguo del manoscritto, ci si concentra su mezzi strutturali di tipo trave che interagiscono son un substrato elastico (detto anche fondo elastico o letto di molle nel gergo ingegneristico) e si propone un’analisi completa del loro comportamento strutturale. Nella prima parte della tesi, si presenta uno studio bibliografico che delinea il concetto di “trave su fondo elastico” o “trave su letto di molle” e lo inserisce nel panorama delle applicazioni ingegneristiche nel campo dell’Edilizia, come il caso di travi di fondazione. Si prosegue con la deduzione del modello matematico di Winkler, oggetto di studio di questa prova finale, facendo capo ad una classe di metodi variazionali che permettono di scrivere le equazioni di modello (equazioni indefinite di equilibrio) e di associare, ad ogni fenomeno considerato, la relativa corrispondenza di dualità statico-cinematica (deformazioni/sforzi, spostamenti/forze). Le equazioni ottenute, quindi, vengono risolte analiticamente al variare di opportune condizioni al bordo (diverse condizioni di vincolo definite alle estremità del mezzo continuo considerato) e i risultati, in termini di deformate, forze e sforzi, nonché di interazione (elastica) tra la trave e il substrato, sono presentati. Tale procedura è integrata con simulazioni numeriche dei modelli ottenuti, effettuate tramite il software agli elementi finiti Comsol Multiphysics. Infine, nella parte conclusiva del lavoro, si mettono in luce gli aspetti salienti del lavoro di tesi, si pone l’attenzione sui risultati ottenuti, alla luce delle implicazioni in ambito ingegneristico e strutturale che essi, anche in potenza, hanno.