MODELLI MATEMATICI DI ADESIONE: UN APPROCCIO VARIAZIONALE

The present Bachelor Thesis falls within the Academic Field (Settore Scientifico Disciplinare in Italian) MAT/07 (Mathematical Physics). The objective we aim for is to study some mechanical and structural aspects of the phenomenon of adhesion. In particular, the focus is on materials, deformable and/or rigid, that adhere through a layer of adhesive, assumed to be very thin and representable by a system of elastic forces. Through a variational approach, the equilibrium equations describing the deformations of the two adherent materials and the mutual forces exchanged by them through the adhesive layer are deduced. In doing so, reference is made to a class of one-dimensional mathematical models of Continuum Mechanics, specializing the study to a shear lag model. In this context, after the analytical solution of the equilibrium equations is provided, it is possible to: 1. deduce the exact expression of the adhesion force exchanged through the adhesive as a function of the constitutive parameters characterizing the adherent materials and the adhesive itself (as a limiting case, the situation where one of the adherents is rigid is considered); 2. determine a characteristic internal length, called the persistence length, which identifies the length scale within which the perturbations induced by external loads (displacements or stresses) decrease with increasing distance from the points where such loads are applied. Finally, a dedicated bibliographic study has been conducted, inserting the results of the work carried out in this Thesis into the broad panorama of the scientific literature concerning continuous systems experiencing adhesion.

La presente Prova Finale si colloca all’interno del Settore Scientifico Disciplinare MAT/07 (Fisica Matematica). L’obiettivo che ci si pone è quello di studiare alcuni aspetti meccanici e strutturali del fenomeno dell’adesione. In particolare, ci si focalizza su materiali, deformabili e/o rigidi, che aderiscono mediante uno strato di adesivo, supposto molto sottile e rappresentabile mediante un sistema di forze di tipo elastico. Attraverso un approccio di tipo variazionale, si deducono le equazioni di equilibrio che descrivono le deformazioni dei due materiali aderenti e le forze mutue da essi scambiati tramite lo strato di adesivo. Nel fare ciò, si fa riferimento ad una classe di modelli matemtici mono-dimensionali della Meccanica dei Continui, specializzando lo studio ad un modello di shear lag. In tale contesto, a valle della risoluzione analitica delle equazioni di equilibrio, si è in grado di 1. dedurre l’espressione esatta della forza scambiata tramite l’adesivo in funzione dei parametri costitutivi caratterizzanti i materiali aderenti e l’adesivo stesso (come situazione limite, si considera il caso in cui uno dei due aderenti sia rigido); 2. determinare una lunghezza caratteristica interna, detta lunghezza di persistenza, che individua la scala di lunghezza entro la quale le perturbazioni indotte da carichi esterni (spostamenti o sforzi) diminuiscono con l’aumentare della distanza dai punti in cui tali carichi sono applicati. Infine, un studio bibliografico dedicato è stato condotto, inserendo i risultati del lavoro svolto in questo elaborato nell’ampio panorama della letteratura scientifica dei sistemi continui soggetti ad adesione