PINN E METODI CLASSICI A CONFRONTO: IL CASO DELL’EQUAZIONE DEL CALORE

Il presente lavoro analizza il processo di addestramento delle reti neurali, con particolare attenzione agli algoritmi di ottimizzazione e all’impiego delle Physics-Informed Neural Network (PINN) per la risoluzione di equazioni differenziali. Dopo aver introdotto i principali fondamenti delle reti neurali e della backpropagation, vengono esaminati e confrontati la discesa del gradiente, la discesa stocastica del gradiente, Adam e NAdam. La parte sperimentale riguarda l’equazione del calore unodimensionale, risolta mediante una PINN e mediante il metodo classico delle differenze finite con schema FTCS. Le due approssimazioni sono state valutate sullo stesso dominio e confrontate con la soluzione esatta, utilizzata esclusivamente per misurare gli errori. L’intero esperimento è stato implementato in MATLAB. Nel confronto tra gli ottimizzatori, Adam ha fornito il miglior compromesso tra accuratezza, stabilità e tempo di addestramento. Il training è stato successivamente esteso fino a 10.000 epoche, analizzando la funzione di perdita alle epoche 3.000, 5.000 e 10.000. Il risultato migliore tra i checkpoint considerati è stato ottenuto all’epoca 5.000, mentre il proseguimento del training non ha prodotto un ulteriore miglioramento. Nel confronto finale, la PINN ha raggiunto un errore relativo L² pari a 1,9593×10⁻³, mentre FTCS ha ottenuto un errore pari a 1,9743×10⁻⁴, risultando anche più rapido. Per il semplice problema diretto considerato, il metodo delle differenze finite si è quindi dimostrato più conveniente. La PINN mantiene tuttavia una maggiore flessibilità e può risultare vantaggiosa in problemi inversi, in presenza di dati incompleti o quando devono essere identificati parametri incogniti dell’equazione.