TECNICHE DI OMOGENEIZZAZIONE ASINTOTICA PER LO STUDIO DI DISOMOGENEITÀ MATERIALI IN REGIME LINEARE ELASTICO

The work carried out in this Bachelor Thesis falls within the Academic Field (Settore Scientifico Disciplinare in Italian) MAT/07 (Mathematical Physics). Starting from inhomogeneous structural systems, a mathematical approach based on a two-scale asymptotic homogenization is considered, involving the existence of a microstructure, where the inhomogeneities characterizing the system under consideration are located, described by a length scale sharply separated from the macroscale, i.e., the scale at which the system is observed; the topological description of the microstructure, in terms of geometry and distribution of inhomogeneities, attributable to the presence of two different materials, which are distributed within the material itself. Under appropriate technical assumptions, which characterize the two-scale asymptotic homogenization procedure, suitable differential relationships are determined, allowing for the calculation of effective coefficients and equilibrium equations. In both cases, the term "effective" refers to a formulation of the macroscopic problem, obtained through averaging procedures (asymptotic, in this case), where the geometric and constitutive information contained and deducible from the microstructure is inserted into the model. As an example, in the context of Continuum Mechanics, reference is made to a one-dimensional system subject to small displacements and linear-elastic behaviour. The equations derived at the macroscale, as well as the expressions of the effective quantities of interest (deformations, stress, energy, elastic parameters), are obtained analytically. The entire work developed in this Thesis is accompanied by an appropriate bibliographic study, where particular attention is paid to the literature concerning inhomogeneous media and asymptotic homogenization.

Il lavoro svolto nella presente Prova Finale si inserisce all’interno del Settore Scientifico Disciplinare MAT/07 (Fisica Matematica). Partendo da sistemi strutturali disomogenei, si considera un approccio matematico basato sull’omogeneizzazione asintotica a due scale che prevede: l’esistenza di una micro-struttura, sede delle disomogeneità che caratterizzano il sistema in esame, e descritta da una scala di lunghezza nettamente separata dalla macro-scala, cioè quella in cui il sistema in studio è osservato; la descrizione topologica della microstruttura, in termini di geometria e di distribuzione delle disomogeneità, attribuibili alla presenza di due materiali diversi, che si distribuiscono all’interno del materiale stesso. Sotto opportune ipotesi tecniche, che caratterizzano le procedure di omogeneizzazione asintotica a due scale, si determinano opportune relazioni differenziali che permettono di calcolare coefficienti ed equazioni di equilibrio effettive. In entrambi i casi, il termine effettivo fa riferimento ad una formulazione del problema macroscopico, ottenuta mediante procedure di media (asintotica, in questo caso), in cui le informazioni geometriche e costitutive contenute e deducibili dalla micro-struttura vengono inserite nel modello. A titolo di esempio, nel contesto della Meccanica dei Continui, si fa riferimento a un sistema mono-dimensionale soggetto a piccoli spostamenti e a comportamento elastico-lineare. Le equazioni dedotte alla macro-scala, così come le espressioni delle quantità effettive di interesse (deformazioni, sforzo, energia, parametri elastici), vengono ottenute analiticamente. L’intero lavoro sviluppato in questa prova finale è corredato da un opportuno studio bibliografico, in cui un’attenzione particolare è rivolta alla letteratura concernente i mezzi disomogenei e l'omogeneizzazione asintotica.